Combinazione ottima dei fattori produttivi – Costo e produzione

In che modo le imprese determinano la combinazione ottima dei fattori produttivi?

In altre parole, come scelgono quale quantità di lavoro e di capitale impiegare?

Come vedremo, questo dipende dalla funzione di costo di lungo periodo e dalla funzione di produzione di lungo periodo dell’impresa.

Abbiamo parlato in due post separati dei costi e della produzione nel lungo periodo.

Se sei interessato alla microeconomia, puoi visitare la pagina dedicata microeconomia 101, e puoi anche visitare il canale YouTube in cui sono presenti diversi video sull’argomento.

Adesso torniamo al nostro argomento, e vediamo come le imprese scelgono la combinazione ottima dei fattori produttivi.
Ecco la tavola dei contenuti del post:

Combinazione ottima dei fattori produttivi – breve premessa sui costi e sulla produzione

Abbiamo visto nei post dedicati ai costi e alla produzione come questi vengono rappresentati nel lungo periodo.

In particolare, i costi nel lungo periodo vengono rappresentati con la linea di isocosto; mentre la produzione nel lungo periodo viene rappresentata dall’isoquanto di produzione.

L’isoquanto di produzione

Ciascuno isoquanto rappresenta una data quantità di output (q).

Lungo ogni isoquanto, la quantità di output è uguale (ciò che cambia è la combinazione dei due fattori produttivi (L, Lavoro e K, Capitale).

Gli isoquanti più distanti dall’origine, rappresentano una maggiore quantità di output (q)rispetto a quelli più vicini all’origine.

La linea di isocosto

La linea di isocosto rappresenta lungo di essa lo stesso (-iso)costo.

Ogni punto su una stessa linea di isocosto, rappresenta il medesimo costo (ciò che cambia è la combinazione di lavoro e capitale).

Anche in questo caso, le linee di isocosto più distanti dall’origine rappresentano un livello di costo maggiore.

Determinare la combinazione ottima dei fattori produttivi: combinare isoquanti ed isocosti

Avendo le informazioni sui costi e sulla produzione, l’impresa deve scegliere come raggiungere un determinato livello di produzione, minimizzando i costi.
Per farlo, può usare tre metodi:

1. Regola dell’isocosto più basso
2. Regola della tangenza
3. Regola della spesa marginale

Vediamole brevemente una per una.

Regola dell’isocosto più basso

L’impresa il punto che si trova sull’isocosto più basso (quindi che rappresenta un minore costo)tangente con l’isoquanto che corrisponde al livello di produzione che l’impresa vuole raggiungere.

Vediamo meglio questo concetto con un breve esempio.

Ipotizziamo che un’impresa voglia produrre una data quantità di prodotto P1, rappresentata dall’isoquanto P1.
Dunque, l’impresa dovrà scegliere su quale punto dell’isoquanto P1 porsi, perché ogni punto comporta la quantità voluta, ma con una combinazione diversa di lavoro e capitale.

Supponiamo che quest’impresa abbia le linee di isocosto I1, I2, I3.

Vediamo graficamente la situazione dell’impresa.

Come possiamo vedere nei commenti contenuti nel grafico, l’impresa si posizionerà sul punto C.

Significa che il punto C rappresenta la combinazione ottimale di lavoro (L) e capitale (K)che permette all’impresa di produrre la quantità voluta (P1)minimizzando il costo (curva di isocosto I2).

Regola della tangenza

Come abbiamo visto nel post relativo alla produzione, la pendenza dell’isoquanto è rappresentata dal Tasso Marginale di Sostituzione Tecnica: MRTS (Marginal Rate of Technical Substitution).

Mentre, nel post sui costi abbiamo visto che la pendenza dell’isocosto è data da w/r.
Dove w è il costo orario del lavoro, e r è il costo orario del capitale.

*Ricorda che, quando abbiamo calcolato la retta di isocosto, nel post sui costi, abbiamo detto che

Dunque, per trovare con strumenti matematici il punto C del grafico precedente, dobbiamo semplicemente uguagliare le due pendenze.
Quando le pendenze sono uguali, troviamo il punto di tangenza, e quindi il punto C!

Il punto di tangenza è quello in cui le due pendenze si eguagliano:

Ma sappiamo che

Quest’ultima equazione ci fa capire che il punto di ottimo si ha quando il rapporto tra la produttività marginale del lavoro e la produttività marginale del capitale [primo membro]è uguale al rapporto tra il costo unitario del lavoro (w)e il costo unitario del capitale (r).

Questo ci porta alla terza modalità per determinare il punto di efficienza dell’impresa.

Regola della spesa marginale

Il terzo punto è intuitivo, e vi invito a ragionarci sopra.

È sostanziamente un modo diverso di scrivere l’ultima equazione che abbiamo visto.

In particolare, la scelta ottima dell’impresa si può avere anche quando:

Esercizio svolto sulla combinazione ottima dei fattori produttivi

Un esercizio svolto sul determinare la combinazione ottima dei fattori produttivi ci aiuterà a chiarirci le idee.

Ipotizziamo che un’azienda abbia la seguente funzione di produzione:

Il costo unitario del fattore lavoro è di 40 €, quindi w = 40.

Il costo unitario di utilizzo del capitale è 10€, quindi k = 10.

Vogliamo usare la regola della tangenza, dunque per calcolare il tasso marginale di sostituzione tecnica (MRTS), ci serve il prodotto marginale del lavoro (MP_L)e il prodotto marginale del capitale (MP_K)

Calcoliamo il prodotto marginale del lavoro (MP_L)

Come sappiamo, per calcolare MP_L, dobbiamo derivare la funzione per L.

Svolgiamo i calcoli. Se qualcosa nei calcoli non dovesse essere chiaro, potete rivedere le regole di derivazione della radice.

Calcoliamo il prodotto marginale del capitale (MP_K)

Per calcolare MP_K, dobbiamo derivare la funzione per K.

Di seguito trovate i calcoli svolti, ma se qualcosa non dovesse essere chiaro, anche in questo caso potete rivedere le regole di derivazione della radice.

Determiniamo la combinazione ottima dei fattori produttivi

Adesso abbiamo tutto ciò che ci occorre per determinare la combinazione ottima dei fattori produttivi. Conosciamo il prodotto marginale del lavoro (MP_L), il prodotto marginale del capitale (MP_K), il costo unitario del fattore lavoro (w)e il costo unitario del fattore capitale (r).

Come abbiamo visto, la condizione di ottimizzazione (regola della tangenza)è:

Sappiamo che:

Calcoliamo il nostro MRTS, sostituendo il prodotto marginale del lavoro e del capitale che abbiamo trovato:

Ricordiamo che MRTS è la pendenza dell’isoquanto di produzione. Calcolandolo, abbiamo visto che per questa funzione di produzione, abbiamo:

Abbiamo calcolato il nostro MRTS.

Ora non ci resta che imporre la condizione di tangenza, che ricordiamo essere:

Al primo membro, abbiamo MRTS appena calcolato. Al secondo membro abbiamo w/r, ma sappiamo che w=40, e r=10, quindi:

Abbiamo calcolato tutto l’occorrente. Adesso verifichiamo la condizione di tangenza:

Abbiamo ottenuto che la combinazione ottima dei fattori produttivi è di impiegare 4 unità di capitale per ciascun lavoratore.

Questo esempio conclude la discussione sul modo in cui l’impresa scelga la combinazione ottima dei fattori produttivi.

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